produit scalaire dans un repère non orthonormé

02 Déc 2020, par dans Uncategorized

∑ n b) Orthogonalité de deux droites dans l’espace. n Deux vecteurs non nuls sont orthogonaux ssi leur produit scalaire est nul. k C'est, en partie, ce qui fait la puissance de cet outil en mathématiques. e v Calcul d'angle. Le produit scalaire de \overrightarrow{AB} et \overrightarrow{AC} est le nombre réel noté \overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{AC} défini par : Le sens de l'angle n'a pas d'importance dans cette formule puisque pour tout angle \theta \ : \cos \theta =\cos( - \theta ). Dans ce chapitre, nous allons calculer le produit scalaire de deux vecteurs u et v en fonction de leurs coordonnées covariantes et contravariantes. Objectif Utiliser les définitions et propriétés du produit scalaire afin de déterminer des mesures d’angles ou de longueurs dans un triangle notamment. = Dans un repère orthonormé si un vecteur non nul ( , , )est normal à un plan P, alors P a une équation de la forme ax+by+cz+d=0. L'angle \widehat{DIB} est ici un angle obtus. . Calculer un produit scalaire à partir des coordonnées des vecteurs. k . = Comme les vecteurs \overrightarrow{AI} et \overrightarrow{BI} sont orthogonaux le produit scalaire \overrightarrow{AI} \cdot \overrightarrow{BI} est nul ; pour la même raison le produit scalaire \overrightarrow{IB} \cdot \overrightarrow{IC} est lui aussi nul. Si vous continuez à utiliser ce dernier, nous considérerons que vous acceptez l'utilisation des cookies. v e Un vecteur directeur de d est : Un vecteur normal de d est tel que : Soit : 3a + 2b = 0. a = 2 et b = − 3 conviennent, ainsi le vecteur est un vecteur normal de d. k Dans tout ce paragraphe, on travaillera dans un repère orthonormé 1. v qui nous sont familières ne sont, en fait, vraies que dans les repères orthonormés parce que dans un tel repère, les coordonnées contravariantes sont égales aux coordonnées covariantes. 1 1 1 ∑ = Ce réel ne dépend pas du repère choisi. k = Produit scalaire de deux vecteurs Définition Soient et deux vecteurs non nuls du plan. k k dompig produit scalaire dans un repère orthonormé 25-02-10 à 09:57 mille excuses, les coordonnées des 4 points sont : A(-2;-1) B(1;-3) C(5;3) et D(9;0) j'ai réussi pour le croquis mais je ne sais pas comment faire pour le mettre sur le forum Notons HHHce projeté orthogonal : On utilise alors le théorème suivant (voir cours) : Produit scalaire dans le plan – Révisions 1S Illustration de la quatrième expression du produit scalaire Application 1 : Dans chaque cas, calculer $\\vect{AB}.\\vect{AC}$ (ou $\\vec{u}.\\vec{v}$ pour le cas 2) : $\\quad$ $\\quad$ À quoi ça sert? Dans ce cas le repère R O,i,j est appelé repère orthonormé . ( = Leçon : PRODUIT SCALAIRE dans l’espace Présentation globale 1) Le produit scalaire de deux vecteurs dans l’espace 2) Vecteurs orthogonaux 3) Produit scalaire et norme 4) repère orthonormé de l’espace base orthonormé de l’espace 5) analytique du produit scalaire dans l'espace 6) L'ensemble des points dans l'espace tq : u AM k. ∑ = ⋅ Attention toutefois, pour que la formule précédente soit valable, il est important que le repère soit orthonormé. Sur la figure ci-dessous, ABCD est un carré de côté 4 unités et I et le milieu du segment [AB]. Dans le triangle ci-dessus, d'après la relation de Chasles : \overrightarrow{BC}=\overrightarrow{BA}+\overrightarrow{AC}=\overrightarrow{AC} -\overrightarrow{AB}. Pour calculer le produit scalaire AB→⋅AC→\overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{AC} ​AB​​​⋅​AC​​​ , on projette orthogonalement le point CCC sur la droite (AB)(AB)(AB) . Dire que l'angle \widehat{BAC} est aigu revient à dire que les vecteurs \overrightarrow{AB} et \overrightarrow{AH} ont le même sens. 1 Nous verrons ce que devient, en fonction des coordonnées, l’expression du produit scalaire dans un repère non orthonormé. {\displaystyle v} On peut étendre la notion de produit scalaire dans le plan, établie ci-dessus, à deux vecteurs de l'espace. . \vec{u} \cdot \vec{v}=\frac{1}{2} \left(||\vec{u}+\vec{v}||^{2}-||\vec{u}||^{2}-||\vec{v}||^{2}\right), \vec{u} \cdot \vec{v}=\frac{1}{2}\left(\left\Vert \vec{u}\right\Vert{}^2 +\left\Vert \vec{v}\right\Vert{}^2 -\left\Vert \vec{u} -\vec{v}\right\Vert{}^2 \right), \overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AC}=2\overrightarrow{AM}, \overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{AC} =\frac{1}{2} \left( ||\overrightarrow{AB}||{}^2 +||\overrightarrow{AC}||{}^2 -||\overrightarrow{BC}{}||^2 \right), \overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{AC} =\frac{1}{2} \left( 9{}^2 +6{}^2 -8{}^2 \right), \overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{AC} =\frac{1}{2} \times 53=26,5, \overrightarrow{u}\begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix}, \overrightarrow{v}\begin{pmatrix} x ^{\prime} \\ y ^{\prime} \end{pmatrix}, \vec{u} \cdot \vec{v}=xx^{\prime}+yy^{\prime}, A(0~;~0)~; B(4~;~0)~;~C(4~;~4)~; D(0~;~4)~;~I(2~;~0), \overrightarrow{IB}\begin{pmatrix} x_{B} -x_{I} \\ y_{B} -y_{I} \end{pmatrix}, \overrightarrow{IB}\begin{pmatrix} 2 \\ 0 \end{pmatrix}, \overrightarrow{ID}\begin{pmatrix} x_{D} -x_{I} \\ y_{D} -y_{I} \end{pmatrix}, \overrightarrow{ID}\begin{pmatrix} -2 \\ 4 \end{pmatrix}, \vec{u} \cdot \left(\vec{v}+\vec{w}\right)=\vec{u} \cdot \vec{v}+\vec{u} \cdot \vec{w}. (d) de vecteur directeur et (d’) de vecteur directeur ’ . un vecteur de coordonnées covariantes (x1, x2, ... , xn) et de coordonnées contravariantes t(x1, x2, ... , xn). Soit la droite d d'équation cartésienne 2 x − 3 y − 6 = 0 . Il existe trois points A, B et C tel que ⃗ = ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ et ⃗ = ⃗⃗⃗⃗⃗ . En effet, considérons les 3 points A, B, C tels que u = AB et v = AC . k On a alors ∥u→∥=32+(−2)2+42=29 et ∥v→∥=22+52+12=30 Première utilisation : démontrer que des vecteurs sont orthogonaux Application 2 : Dans un repère orthonormé, […] Par conséquent : \overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{BC}=\overrightarrow{AI}{}^2 -\overrightarrow{IB}{}^2 =AI{}^2 -IB{}^2 \overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{BC}=6{}^2 -3{}^2 =36 - 9=27. e x k k Dans un espace préhilbertien E (c'est-à-dire un espace vectoriel réel ou complexe muni d'un produit scalaire), une famille (v i) i∈I de vecteurs est dite orthogonale [1], [2] si ces vecteurs sont orthogonaux deux à deux : ∀, ∈ (≠ ⇒ ⊥). n Définitions et propriétés Définition 1. Chapitre 8 : Calcul vectoriel et produit scalaire 1re-Spécialité mathématiques, 2019-2020 1. Nous verrons comment l’expression bien connue du produit scalaire dans un repère orthonormé se généralise dans un repère non orthonormé. x On souhaite calculer le produit scalaire \overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{BC}. ( ∑ v ⋅ k II) Applications A) étermination équation cartésienne d’une droite/d’un plan Début de la boite de navigation du chapitre, fin de la boite de navigation du chapitre, Repère euclidien non orthonormé : Produit scalaire, https://fr.wikiversity.org/w/index.php?title=Repère_euclidien_non_orthonormé/Produit_scalaire&oldid=726673, licence Creative Commons Attribution-partage dans les mêmes conditions. y y Soit \left(\overrightarrow{\imath},\overrightarrow{\jmath},\overrightarrow{k}\right) une base de l'espace et soit \overrightarrow{u} un vecteur de l'espace. {\displaystyle u} {\displaystyle {\begin{array}{cccc}u=\sum _{k=1}^{n}x^{k}e_{k}&&&v=\sum _{k=1}^{n}y^{k}e_{k}\\&&&\\&&&\\x_{k}=e_{k}\cdot u&&&y_{k}=e_{k}\cdot v\\\end{array}}}. ∑ k Pour la figure ci-dessous, on cherche, là encore, à calculer le produit scalaire \overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{AC} . n Les segments IB et AI mesure chacun 2 unités. II) Produit scalaire dans l’espace 1) Définition Soit ⃗ et ⃗ deux vecteurs de l’espace. 1 ( • Pour déterminer un angle géométrique, avec le calcul de son cosinus, dès lors que l'on sait calculer le produit scalaire dans un repère. Bien sûr, on utilise la définition du produit scalaire à l'aide des angles puisqu'ici on connaît l'angle \widehat{BAC} . La dernière modification de cette page a été faite le 18 juillet 2018 à 09:51. k = Produit scalaire dans un repère orthonormé 1) Base et repère orthonormé ... Définition : Un vecteur non nul ^"⃗ de l'espace est normal à un plan P lorsqu'il est orthogonal à tout vecteur admettant un représentant dans P. ... Dans un repère orthonormé, soit %S 1 2 −2 U, &S −1 3 1 U et 0’S 2 −2 Un vecteur directeur de d est : Un vecteur normal de d est tel que : Soit : 3a + 2b = 0. a = 2 et b = − 3 conviennent, ainsi le vecteur est un vecteur normal de d. = Il existe de nombreuses méthodes permettant de calculer un produit scalaire. ∑ x Notons H ce projeté orthogonal : On utilise alors le théorème suivant (voir cours) : Soient A, B, C trois points du plan et si H est la projection orthogonale de C sur la droite \left(AB\right). k v x Une telle famille est dite orthonormale [1], [2] si de plus tous ces vecteurs sont unitaires : ∀ ∈ ‖ ‖ = u On cherche à calculer la valeur du produit scalaire \overrightarrow{IB} \cdot \overrightarrow{ID} . \overrightarrow{AB}=\overrightarrow{AI}+\overrightarrow{IB}, \overrightarrow{BC}=\overrightarrow{BI}+\overrightarrow{IC}, \overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{BC}, \overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{BC}=\left( \overrightarrow{AI}+\overrightarrow{IB} \right) \cdot \left( \overrightarrow{BI}+\overrightarrow{IC} \right), \overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{BC}=\overrightarrow{AI} \cdot \overrightarrow{BI}+\overrightarrow{AI} \cdot \overrightarrow{IC}+\overrightarrow{IB} \cdot \overrightarrow{BI}+\overrightarrow{IB} \cdot \overrightarrow{IC}, \overrightarrow{AI} \cdot \overrightarrow{BI}, \overrightarrow{IB} \cdot \overrightarrow{IC}, \overrightarrow{IC}= \overrightarrow{AI}, \overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{BC}=\overrightarrow{AI}{}^2 -\overrightarrow{IB}{}^2 =AI{}^2 -IB{}^2. = = Appliquer une formule utilisant les normes de 3 vecteurs. y 1. x Soit Soit la droite d d'équation cartésienne 2 x − 3 y − 6 = 0 . On rappelle que (norme du vecteur ) désigne la longueur du segment […] n {\displaystyle u\cdot v=\sum _{k=1}^{n}x_{k}y_{k}=\sum _{k=1}^{n}x^{k}y^{k}}. Nous verrons comment l’expression bien connue du produit scalaire dans un repère orthonormé se généralise dans un repère non orthonormé. Grâce au repère orthonormé de l'espace, on peut définir les coordonnées d'un vecteur comme dans le plan et définir le produit scalaire avec les coordonnées des vecteurs. k {\displaystyle n\in \mathbb {N} } k d gd d gd Théorème: Soient et deux vecteurs du plan . ∑ On a donc : \overrightarrow{IB} \cdot \overrightarrow{ID}= -IB \times IA \overrightarrow{IB} \cdot \overrightarrow{ID}= -2 \times 2= -4, Si l'on connaît l'angle \widehat{BAC}, on peut calculer le produit scalaire \overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{AC} en utilisant les longueurs AB et AC ainsi que le cosinus de l'angle \widehat{BAC}(Voir Définition du produit scalaire.). y n u Révisez en Première : Exercice Calculer un produit scalaire dans un repère orthonormal avec Kartable ️ Programmes officiels de l'Éducation nationale e On sait qu'il existe un … Cette leçon étudie le repérage dans un repère non orthonormé. Le concept relativement récent et a été introduit au milieu du XIXe siècle par le mathématicien allemand Hermann Grassmann (1809 ; 1877), ci-contre. n Chapitre 8 : Calcul vectoriel et produit scalaire 1re-Spécialité mathématiques, 2019-2020 1. Dans un repère cartésien orthonormé ,on donne les trois points et formant le triangle .. A partir du produit scalaire, retrouver l'équation cartésienne du cercle de diamètre dans le plan et vérifier, aux approximations prés, que le sommet du triangle appartient à ce cercle . n n k = La méthode utilisant la projection orthogonale est particulièrement bien adaptée ici puisque l'on connaît la projection orthogonale A du point D sur la droite (IB). = y ∈ e = Dans un plan muni d’un repère orthonormé : En effet : Or les deux vecteurs de base sont orthogonaux donc leur produit scalaire est nul, d’où : De même, dans l’espace muni d’un repère orthonormé : ) 4 Le produit scalaire peut servir : • Pour démontrer par le calcul, un repère orthonormé étant choisi, une orthogonalité. Pour trouver le résultat demandé, on peut se placer dans un repère de centre I et employer la méthode précédente. k Exemple : On se place dans un repère orthonormé du plan. k = ∑ 1 1 Dans ce cas le repère est appelé repère orthonormé direct . AB→ et AH→ont le même sens : 2. Nous allons voir, dans ce chapitre, 5 des principales méthodes utilisées en classe de Première pour calculer un produit scalaire : Appliquer une formule utilisant le cosinus d'un angle. Nous introduisons les notions de coordonnées covariantes et contravariantes que nous retrouverons dans des leçons plus élaborées sur les tenseurs. k k [ROC] Formule de soustraction des cosinus, [ROC] Vecteur directeur et vecteur normal d'une droite, Puissance d'un point par rapport à un cercle, Déterminer le centre et le rayon d'un cercle à partir de son équation. \overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{AC} \approx 12 \times 6 \times 0,643 \approx 46,28. u Il existe toujours un plan contenant A, B et C. On appelle produit scalaire des vecteurs ⃗ et ⃗ de l’espace le produit scalaire des vecteurs ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ et ⃗⃗⃗⃗⃗ dans le plan . On en déduit, d'après la seconde égalité du théorème précédent : \overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{AC} =\frac{1}{2} \left( ||\overrightarrow{AB}||{}^2 +||\overrightarrow{AC}||{}^2 -||\overrightarrow{BC}{}||^2 \right) \overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{AC} =\frac{1}{2} \left( 9{}^2 +6{}^2 -8{}^2 \right) \overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{AC} =\frac{1}{2} \times 53=26,5. 1 e n k Reprenons l'exemple étudié lors de la première méthode en nous plaçant, cette fois, dans le repère (A~;~\vec{i},~\vec{j}) représenté ci-dessous : Les coordonnées des points A, B, C, D, I dans le repère orthonormé (A~;~\vec{i},~\vec{j}) sont : A(0~;~0)~; B(4~;~0)~;~C(4~;~4)~; D(0~;~4)~;~I(2~;~0), On on déduit les coordonnées des vecteurs \overrightarrow{IB} et \overrightarrow{ID}~: \overrightarrow{IB}\begin{pmatrix} x_{B} -x_{I} \\ y_{B} -y_{I} \end{pmatrix} donc \overrightarrow{IB}\begin{pmatrix} 2 \\ 0 \end{pmatrix}, \overrightarrow{ID}\begin{pmatrix} x_{D} -x_{I} \\ y_{D} -y_{I} \end{pmatrix} donc \overrightarrow{ID}\begin{pmatrix} -2 \\ 4 \end{pmatrix}, \overrightarrow{IB} \cdot \overrightarrow{ID}=2 \times ( -2) +4 \times 0= -4. u Il fut baptisé produit scalaire par William Hamilton (1805 ; 1865) en 1853. 1 \overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{BC}=6{}^2 -3{}^2 =36 - 9=27. 1 est donné par : u Soit Produit scalaire dans le plan 1.1. par On peut donc aussi bien utiliser des angles orientés ( comme \left(\overrightarrow{AB} ; \overrightarrow{AC} \right) ) que des angles géométriques ( comme \widehat{BAC} ). ⋅ u x un vecteur de coordonnées covariantes (y1, y2, ... , yn) et de coordonnées contravariantes t(y1, y2, ... , yn). = . . par Les propriétés du produit scalaire vues en 1S dans le plan sont donc également valables dans l’espace. II. n {\displaystyle {\begin{aligned}u.v&=\left(\sum _{k=1}^{n}x^{k}e_{k}\right)\cdot v\\&=\sum _{k=1}^{n}x^{k}(e_{k}\cdot v)\\&=\sum _{k=1}^{n}x^{k}y_{k}\end{aligned}}}, u Le produit scalaire de Soit k est une base orthonormée directe si et seulement si est une base orthonormée et i,j 2 2 . Dans un repère orthonormé, il est facile de calculer le produit scalaire des vecteurs \overrightarrow{u}\begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix} et \overrightarrow{v}\begin{pmatrix} x ^{\prime} \\ y ^{\prime} \end{pmatrix} grâce à la formule suivante : Le plan étant rapporté à un repère orthonormé \left(O; \vec{i}, \vec{j}\right), soient \overrightarrow{u}\begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix} et \overrightarrow{v}\begin{pmatrix} x ^{\prime} \\ y ^{\prime} \end{pmatrix} deux vecteurs du plan; alors : Lorsque la figure ne comporte pas de repère orthonormé, il est toujours possible d'en choisir un soi-même. On appelle produit scalaire de et le nombre réel noté défini par : Remarques Attention : le produit scalaire est un nombre réel et non un vecteur ! Pour la figure ci-dessous, on souhaite déterminer une valeur approchée à 10{}^{ -2} près du produit scalaire \overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{AC} . = ) {\displaystyle u} k = x On peut alors calculer le produit scalaire \overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{BC} de la façon suivante : \overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{BC}=\left( \overrightarrow{AI}+\overrightarrow{IB} \right) \cdot \left( \overrightarrow{BI}+\overrightarrow{IC} \right) \overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{BC}=\overrightarrow{AI} \cdot \overrightarrow{BI}+\overrightarrow{AI} \cdot \overrightarrow{IC}+\overrightarrow{IB} \cdot \overrightarrow{BI}+\overrightarrow{IB} \cdot \overrightarrow{IC}. Ce premier bilan sur l'utilité du produit scalaire étant fait, on peut se demander s'il = k Dire que l'angle \widehat{BAC} est obtus revient à dire que les vecteurs \overrightarrow{AB} et \overrightarrow{AH} ont des sens opposés. k AB→ et AH→n’ont pas le même sens : Exemple : On considère les vecteurs u→(3;−2;4) et v→(2;5;1). ( Toutefois, Il est également possible ici de décomposer les vecteurs \overrightarrow{AB} et \overrightarrow{BC} en utilisant la relation de Chasles et en faisant intervenir le point I : \overrightarrow{AB}=\overrightarrow{AI}+\overrightarrow{IB} \overrightarrow{BC}=\overrightarrow{BI}+\overrightarrow{IC}. v ⋅ {\displaystyle v} Produit scalaire et quadrillage. De plus, \overrightarrow{IC}= \overrightarrow{AI}, IB=\frac{1}{2} DB=3 et IC=AI=\frac{1}{2} AC=6. ) ⋅ * calculer le produit scalaire de deux vecteurs dont on connait les coordonnées dans un repère orthonormé. y x Le produit scalaire des vecteurs et est le réel noté défini par . Le projeté orthogonal d’un point M sur une droite d est le point d’intersection M′ v u Dans un repère orthonormé, on considère les vecteurs et . Une autre façon de calculer le produit scalaire de 2 vecteurs consiste à décomposer ces vecteurs en utilisant la relation de Chasles puis à utiliser la distributivité du produit scalaire par rapport à l'addition ou à la soustraction de vecteurs. Sur la figure ci-dessous, ABCD est un losange dont les diagonales mesurent : AC=12 et BD=6. = v u v Propriétés (rappels) → Produit scalaire et calcul d'angles dans un repère orthonormé a. k k y On a alors u→.v→=3×2−2×5+4×1=6−10+4=0 Exemple : On considère les vecteurs u→(3;−2;4) et v→(2;5;1). 1 N ∑ \overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{AC}=AB\times AH si l'angle \widehat{BAC} est aigu, \overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{AC}=-AB\times AH si l'angle \widehat{BAC} est obtus. v 1 En particulier : 1. k k Définition et propriétés Définition Étant donnés deux vecteurs et on appelle produit scalaire de et , noté , le nombre réel Exemple avec et , on obtient Complément = Définitions et propriété Définition 1.

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